MATEMÁTICAS (ECUACIONES CUADRÁTICAS )

DEFINICIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Definición:  Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax² + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos:  x² - 9 = 0;  x² - x - 12 = 0;  2x² - 3x - 4 = 0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x² en la ecuación.  Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas.  El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver.  En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.

Factorización:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero.  Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores.  Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplos para discusión en clase:  Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

1)  x² - 4x = 0

2)  x² - 4x = 12

3)  12x² - 17x + 6 = 0

Nota:  No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros.  Por eso tenemos que conocer otros métodos.

Raíz cuadrada:

Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Propiedad de la raíz cuadrada:  Para cualquier número real k, la ecuación x² = k es equivalente a :

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada:

1)  x² - 9 = 0

2)  2x² - 1 = 0

3)  (x - 3)² = -8

Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto  cuando conocemos los primeros dos.   Esto es, trinomios de la forma: 

x² + bx + ?

Regla para hallar el último término de x² + bx + ?:  El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio.   Esto es;  el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son

 x² + bx  es :

 

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado.  Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

1)  x² + 6x + 7 = 0

2)  x² – 10x + 5 = 0

3)  2x² - 3x - 4 = 0

MÉTODOS DE TÉCNICAS PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES 

La forma general de la ecuación de segundo grado es:

ax² + bx + c = 0

Dependiendo si la ecuación es completa o incompleta tienes diferentes métodos de solución.

a) De la forma ax² + c = 0 *** Se resuelve por despeje.

Ejemplo. 2x² - 98 = 0
2x² = 98
x² = 98/2
x² = 49
x = ±√49
x1 = 7
x2 = -7

b) De la forma ax² + bx = 0 *** Se resuelve por factorización simple.

Ejemplo. x² + 5x = 0
x ( x + 5) = 0
x1 = 0
x2 = -5

c) De la forma ax² + bx + c = 0 *** Se puede resolver por factorización del trinomio o por fórmula general.

Ejemplos.

i) x² + 7x + 10 = 0
Se puede factorizar como:
(x + 5)(x + 2) = 0
x1 = -5
x2 = -2

En caso de que la factorización no sea tan sencilla, se puede utlizar la fórmula:

x = [ - b ±√ (b² - 4ac)] / 2a

TRES EJEMPLOS DE FORMULA GENERAL 

v

       PROBLEMAS QUE IMPLIQUEN EL USO DEL TEOREMA DE TALES DE MILETO

Tales de Mileto (c. 625-c. 546 a.C.). Era un comerciante y legislador griego nacido en Mileto (en la costa Oeste del Asia Menor) o, tal vez, como dice el historiador griego Heródoto, en alguna ciudad fenicia, hacia el 625 antes de Cristo. Según Heródoto, Tales fue un estadista práctico que estaba en favor de la federación de ciudades jónicas de Grecia. Después de su éxito en el mundo de los negocios, Tales lo abandonó para dedicarse a la filosofía y a las matemáticas.

Tales fue el primero en demostrar sus afirmaciones, por lo que se le considera el primer matemático de la historia.

Son cinco sus teoremas geométricos:

Todo diámetro bisecta a la circunferencia

Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales son iguales

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Sobre el conocido Teorema de Tales, tal vez no fuera Tales su autor, sin embargo, se le ha atribuido a él por utilizarlo para medir distancias.

Teorema:

Los triángulos BED y CED tienen la misma área, porque tienen la misma base y la misma altura.

Ejemplo:

Calculemos el área del triángulo ADE: Será AD . h / 2 = AE . h' / 2

Calculemos el área del triángulo CDE: Será CD . h / 2

Calculemos el área del triángulo BED: Será BE . h' / 2

Como las áreas de los triángulos BED y CDE son iguales, los cocientes ADE / BED y ADE /CDE serán iguales.

Entónces AD / CD  = AE / BE

Algunas curiosidades sobre el sabio

Tales es recordado principalmente por su cosmología basada en el agua como esencia de toda la materia y por su predicción del eclipse de sol, que debió ocurrir el 28 de mayo del 585 a. C. Lo espectacular de esta predicción es que detuvo la batalla entre Alyattes y Cyaxares en ese año. Es probable que el hecho de que el eclipse fuera total y la localidad afectada correspondiera a la de una batalla importante contribuyera enormemente a la reputación de Tales como astrónomo.

Cuando ocurrió el eclipse de sol, Tales debía estar en el pináculo de su carrera y tener alrededor de cuarenta años. No hay escritos de Tales disponibles, así como tampoco hay fuentes contemporáneas a las que se pueda recurrir como referencia. La inclusión del nombre de Tales en el canon de los legendarios Siete Hombres Sabios condujo a su idealización y después a la leyenda que le acompaña.

Ejercicios

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Una aplicación inmediata de este teorema sería la división de un segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a números dados

MODELACION DE PROBLEMAS MEDIANTE GRÁFICAS , TABLAS Y EXPRESIONES  

El área de un cuadrado esta en función de la medida de sus lados , Escribe una expresión algebraica que relacione el área y las medidas de sus lados
*Elabora una tabla para diversos valores de sus lados y construye su gráfica

x          y                                                    
-3         9
-2         4
-1         1
0          0
1          1
2          4
3          9


2:-En una poblacion de bacterias se observo que el primer dia habia solamente 2 y el segundo dia 7 y el tercer dia 14 y el cuarto dia 23y el quinto dia 34 ¿Cuantas bacterias habra el dia 30?

Dia           1  2    3     4       5                                           x      y
Bacterias  2  7   14     23  34                                           -3     10
                    5    7     9     11                                           -2      5
                        2     2      2                                              -1      2
                                                                                        0       0
a+b+c=2                                                                          1         2
3a+b=5                                                                             2        5
2a=5                                                                                 3       10
 a=1
b=2
c=-1
y=x2+2x-1

3:-El volumen de un cilindro que tiene una altura de 10 cm y un radio R seria de:
a) r=1                              v=ABase 4
b)r=2                               v= pir2(10)
c)r=3                                v=3.1416r2

r   1                   2                     3                4  
v   31.4116       125.674          282.744      251.328

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